【三角函数转换公式大全】在数学学习中，三角函数的转换公式是解决各种三角问题的重要工具。无论是解三角形、求角度、还是进行三角恒等变换，掌握这些公式都至关重要。以下是对常见三角函数转换公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和余割的关系 |
二、角度转换公式（常用）
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 正弦的奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 余弦的偶函数性质 |
| $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ | 正切的奇函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
三、和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 和差角公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 和差角公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 和差角公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ | 两倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ | 半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
八、反三角函数相关公式
| 公式 | 说明 |
| $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ | 反三角函数关系 |
| $\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ | 反三角函数关系 |
| $\arctan x + \arctan y = \arctan\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$（当 $xy < 1$） | 反三角函数加法公式 |
总结
三角函数转换公式是数学中的基础内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地解决实际问题。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解，有助于加深记忆和灵活运用。
