【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能提高思维的灵活性和逻辑性。以下是对常见三角函数公式的系统总结，便于查阅与记忆。
一、基本概念
| 名称 | 定义（直角三角形） | 定义（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y坐标 / 半径 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x坐标 / 半径 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y坐标 / x坐标 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x坐标 / y坐标 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | 1 / cosθ |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | 1 / sinθ |
二、常用公式
1. 基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 平方关系 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 正切与正割的关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 余切与余割的关系 |
2. 诱导公式（角度变换）
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 补角关系 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 补角关系 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 周期性与对称性 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 周期性与对称性 |
3. 和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切和差公式 |
4. 二倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 二倍角正弦公式 |
| $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 二倍角余弦公式 |
| $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 二倍角正切公式 |
5. 半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角正弦公式 |
| $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角余弦公式 |
| $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ | 半角正切公式 |
6. 积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 正弦与余弦乘积 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | 余弦乘积 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ | 正弦乘积 |
7. 和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 正弦和转积 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 余弦和转积 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 正弦差转积 |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 余弦差转积 |
三、特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 无定义 |
四、小结
三角函数的公式繁多，但其核心思想是通过角度之间的关系来推导出各种表达式。掌握这些公式，不仅能帮助解决复杂的计算问题，还能提升对三角函数整体结构的理解。建议在学习过程中结合图形、例题进行练习，逐步加深对公式的理解和应用能力。
