【基础解系怎么求出来的】在高等代数中，齐次线性方程组的解空间是一个重要的概念，而基础解系则是这个解空间的一组极大线性无关组。它能够表示该方程组的所有解。掌握如何求出基础解系，是理解线性方程组解结构的关键。
一、基础解系的定义
对于一个齐次线性方程组：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是未知数向量，若该方程组有非零解，则其所有解构成一个向量空间，称为解空间。在这个空间中，基础解系是一组线性无关的解向量，使得该空间中的每一个解都可以由这组向量线性表示。
二、求基础解系的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1. 写出系数矩阵 | 将齐次方程组的系数写成矩阵形式 $ A $。 |
| 2. 对矩阵进行初等行变换 | 将矩阵化为行最简形（或简化阶梯形），以确定主变量和自由变量。 |
| 3. 确定主变量与自由变量 | 主变量对应于主元所在的列，其余为自由变量。 |
| 4. 令自由变量取值为1或0 | 通常将自由变量分别设为1和0，依次求出对应的解向量。 |
| 5. 得到一组线性无关的解向量 | 这些解向量即为基础解系。 |
三、示例说明
考虑以下齐次方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
步骤1：写出系数矩阵
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
步骤2：化为行最简形
通过行变换得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤3：确定主变量和自由变量
- 主变量：$ x_1, x_3 $
- 自由变量：$ x_2 $
步骤4：令自由变量取值
令 $ x_2 = t $，则：
- 由第一行得：$ x_1 = -t $
- 由第三行得：$ x_3 = 0 $
所以通解为：
$$
\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
步骤5：基础解系
基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 基础解系定义 | 齐次方程组解空间的一组极大线性无关组 |
| 求解步骤 | 化简矩阵 → 确定主变量和自由变量 → 赋值求解 → 得到基础解系 |
| 关键点 | 自由变量的赋值方式影响基础解系的选取 |
| 应用 | 用于描述齐次方程组的全部解 |
通过上述方法，可以系统地求出齐次线性方程组的基础解系。理解这一过程不仅有助于数学学习，也对后续的线性代数应用（如矩阵分析、微分方程等）具有重要意义。
