【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式有助于快速解题和理解相关概念。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $\sin\theta = \frac{a}{c}$ |
| 余弦（cos） | $\cos\theta = \frac{b}{c}$ |
| 正切（tan） | $\tan\theta = \frac{a}{b}$ |
| 余切（cot） | $\cot\theta = \frac{b}{a}$ |
| 正割（sec） | $\sec\theta = \frac{c}{b}$ |
| 余割（csc） | $\csc\theta = \frac{c}{a}$ |
二、基本恒等式
1. 平方关系：
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系：
- $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$
- $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$
- $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$
3. 商数关系：
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
三、诱导公式（角度变化）
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos\theta$ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(A \pm B)$ | $\sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| $\cos(A \pm B)$ | $\cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| $\tan(A \pm B)$ | $\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin 2\theta$ | $2\sin\theta \cos\theta$ |
| $\cos 2\theta$ | $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ 或 $2\cos^2\theta - 1$ 或 $1 - 2\sin^2\theta$ |
| $\tan 2\theta$ | $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| $\cos \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| $\tan \frac{\theta}{2}$ | $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ 或 $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
七、积化和差与和差化积
| 类型 | 公式 |
| 积化和差 | $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ |
| 和差化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
八、正弦定理与余弦定理
| 定理 | 公式 |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ |
| 余弦定理 | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ |
以上内容涵盖了三角函数的主要公式，适用于初等数学、高中数学及部分大学基础课程的学习和应用。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对三角函数性质的理解。
