【指数分布的分布函数】指数分布是概率论和统计学中一种重要的连续概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔。它在可靠性工程、排队论、寿命分析等领域有广泛应用。本文将对指数分布的分布函数进行总结，并通过表格形式展示其关键信息。
一、指数分布的基本概念
指数分布是一种单参数的连续概率分布，通常用来描述独立事件之间的时间间隔。其概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \text{当 } x \geq 0 \\
0 & \text{当 } x < 0
\end{cases}
$$
其中，$\lambda > 0$ 是分布的速率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
二、指数分布的分布函数（CDF）
指数分布的累积分布函数（CDF）表示随机变量 $X$ 小于或等于某个值 $x$ 的概率，即：
$$
F(x; \lambda) = P(X \leq x) =
\begin{cases}
1 - e^{-\lambda x} & \text{当 } x \geq 0 \\
0 & \text{当 } x < 0
\end{cases}
$$
该函数反映了指数分布的“记忆无性”特性，即无论过去发生了什么，未来事件发生的概率仅取决于当前时间点。
三、指数分布的性质
| 特性 | 描述 |
| 均值（期望） | $\frac{1}{\lambda}$ |
| 方差 | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| 中位数 | $\frac{\ln(2)}{\lambda}$ |
| 分布函数 | $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ |
| 记忆无性 | $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ |
四、应用示例
假设某自动售货机故障发生的平均时间为 10 小时（即 $\lambda = 0.1$），那么：
- 在 5 小时内发生故障的概率为：
$$
F(5) = 1 - e^{-0.1 \times 5} = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935
$$
- 在 10 小时内发生故障的概率为：
$$
F(10) = 1 - e^{-0.1 \times 10} = 1 - e^{-1} \approx 0.6321
$$
五、总结
指数分布以其简洁的形式和强大的实用性，在实际问题中被广泛使用。其分布函数 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ 是理解其概率行为的关键。掌握这一函数不仅有助于理论分析，也能在工程、金融、生物学等多个领域提供有力支持。
表：指数分布关键属性一览表
| 属性 | 公式 |
| 概率密度函数 (PDF) | $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$ |
| 累积分布函数 (CDF) | $F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x}$ |
| 期望值 | $\frac{1}{\lambda}$ |
| 方差 | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| 中位数 | $\frac{\ln(2)}{\lambda}$ |
| 记忆无性 | $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ |
如需进一步了解指数分布与其他分布（如泊松分布、正态分布）之间的关系，可继续深入探讨。
