【正态分布曲线计算公式】正态分布是统计学中最常见的概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程等领域。它描述了数据在平均值附近集中分布的规律。正态分布曲线也称为高斯曲线，其形状呈对称的钟形。
一、正态分布的基本概念
正态分布由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度和高度。正态分布的概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $ 是变量值；
- $ \mu $ 是均值；
- $ \sigma $ 是标准差；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）；
- $ \pi $ 是圆周率（约等于 3.14159）。
二、正态分布曲线的特点
| 特点 | 描述 |
| 对称性 | 曲线关于均值 μ 对称 |
| 钟形 | 中间高，两侧逐渐下降 |
| 均值、中位数、众数重合 | 所有三个值都等于 μ |
| 概率密度函数积分恒为 1 | 表示所有可能事件的概率总和为 1 |
| 标准差决定分散程度 | σ 越大，曲线越扁平；σ 越小，曲线越陡峭 |
三、正态分布的应用
正态分布常用于以下场景：
- 测量误差分析
- 学生成绩分布
- 产品质量控制
- 金融市场的收益率分析
在实际应用中，通常会将任意正态分布转换为标准正态分布（均值为 0，标准差为 1），以便使用标准正态分布表进行计算。
四、标准正态分布函数
标准正态分布的概率密度函数为：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
$$
其中 $ z $ 是标准分数，计算公式为：
$$
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
$$
通过标准正态分布表，可以查出某一 z 值对应的累积概率，即 P(Z ≤ z)，用于计算特定范围内的概率。
五、正态分布计算示例
| 参数 | 数值 |
| 均值 (μ) | 100 |
| 标准差 (σ) | 15 |
| 变量值 (x) | 120 |
| 标准分数 (z) | $\frac{120 - 100}{15} = 1.33$ |
| 累积概率 (P(Z ≤ 1.33)) | 约 0.9082 |
说明：当 x = 120 时，该值位于均值右侧 1.33 个标准差处，大约有 90.82% 的数据小于或等于 120。
六、总结
正态分布是一种重要的连续概率分布，具有对称性、钟形曲线等特征。其计算公式可用于预测、分析和解释数据的分布情况。通过标准化处理，可以方便地使用标准正态分布表进行概率计算。掌握正态分布的相关知识，有助于更好地理解和应用统计学方法。
