【一道关于线应变的材料力学问题】在材料力学中，线应变是描述材料在受力后沿某一方向长度变化的物理量。它通常用单位长度的变形量来表示，是分析构件在载荷作用下变形的重要参数。本文将通过一个典型的材料力学问题，分析线应变的计算方法，并以总结加表格的形式展示答案。
一、问题描述
一根长为 $ L = 1.5 \, \text{m} $ 的钢制圆杆，直径为 $ d = 20 \, \text{mm} $，受到轴向拉力 $ P = 50 \, \text{kN} $ 的作用。已知钢材的弹性模量 $ E = 200 \, \text{GPa} $。求该杆件的轴向线应变 $ \varepsilon $。
二、解题思路
1. 计算横截面积
圆杆的横截面积公式为：
$$
A = \frac{\pi d^2}{4}
$$
2. 计算应力
轴向应力 $ \sigma $ 为：
$$
\sigma = \frac{P}{A}
$$
3. 计算线应变
根据胡克定律，线应变为：
$$
\varepsilon = \frac{\sigma}{E}
$$
三、计算过程
- 直径 $ d = 20 \, \text{mm} = 0.02 \, \text{m} $
- 横截面积：
$$
A = \frac{\pi (0.02)^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0004}{4} = 0.000314 \, \text{m}^2
$$
- 应力：
$$
\sigma = \frac{50 \times 10^3}{0.000314} \approx 159.24 \, \text{MPa}
$$
- 线应变：
$$
\varepsilon = \frac{159.24 \times 10^6}{200 \times 10^9} = 0.000796
$$
四、总结与答案
| 项目 | 数值 | 单位 |
| 杆件长度 $ L $ | 1.5 | m |
| 直径 $ d $ | 20 | mm |
| 拉力 $ P $ | 50 | kN |
| 弹性模量 $ E $ | 200 | GPa |
| 横截面积 $ A $ | 0.000314 | m² |
| 应力 $ \sigma $ | 159.24 | MPa |
| 线应变 $ \varepsilon $ | 0.000796 | — |
五、结论
通过上述计算可知，该钢制圆杆在受到 $ 50 \, \text{kN} $ 的轴向拉力作用下，其轴向线应变为 $ 0.000796 $，表明杆件发生了微小的伸长变形，符合材料力学中胡克定律的基本规律。这一结果有助于进一步分析构件的强度和刚度性能。
