【分数求导怎么求】在微积分中，分数形式的函数求导是常见的问题之一。对于形如 $ y = \frac{u}{v} $ 的函数，其导数可以通过商法则来计算。本文将总结分数求导的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导步骤。
一、分数求导的基本方法
1. 商法则（Quotient Rule）
对于函数 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数为：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
2. 简化形式
如果分子或分母是常数，可以直接使用基本导数公式进行计算。
3. 特殊情况处理
- 当分母为常数时，只需对分子求导，再除以分母。
- 当分子为常数时，可直接使用导数的规则处理。
二、常见类型与求导步骤对比表
| 函数形式 | 导数公式 | 求导步骤 |
| $ y = \frac{u}{v} $ | $ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 1. 分别求 $ u $ 和 $ v $ 的导数； 2. 代入公式计算分子部分； 3. 分母为 $ v $ 的平方。 |
| $ y = \frac{c}{v} $（c为常数） | $ y' = \frac{-cv'}{v^2} $ | 1. 常数导数为0； 2. 只需对分母 $ v $ 求导； 3. 代入公式计算。 |
| $ y = \frac{u}{c} $（c为常数） | $ y' = \frac{u'}{c} $ | 1. 分子 $ u $ 求导； 2. 分母保持不变； 3. 直接相除。 |
| $ y = \frac{1}{v} $ | $ y' = \frac{-v'}{v^2} $ | 1. 分子为1，导数为0； 2. 对分母 $ v $ 求导； 3. 代入公式计算。 |
三、实例解析
例1：
函数 $ y = \frac{x^2}{\sin x} $
- $ u = x^2 $, $ u' = 2x $
- $ v = \sin x $, $ v' = \cos x $
- 代入公式得：
$$
y' = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x}
$$
例2：
函数 $ y = \frac{5}{x^3} $
- $ u = 5 $, $ u' = 0 $
- $ v = x^3 $, $ v' = 3x^2 $
- 代入公式得：
$$
y' = \frac{0 \cdot x^3 - 5 \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-15x^2}{x^6} = -\frac{15}{x^4}
$$
四、注意事项
- 使用商法则时，注意符号的正确性，尤其是减号的位置。
- 在复杂表达式中，先对分子和分母分别求导，再代入公式。
- 若函数可以化简为更简单的形式，应优先化简后再求导。
通过以上总结和表格对比，我们可以更清晰地掌握分数形式函数的求导方法。掌握这些技巧，有助于在实际问题中快速准确地求出导数。
