【向量的外积】在三维几何与物理中，向量的外积（也称叉积）是一个重要的运算，用于描述两个向量之间的垂直关系和旋转方向。外积不仅具有几何意义，还在力学、电磁学、计算机图形学等领域有广泛应用。
一、基本概念
向量的外积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个新的向量，该向量的方向垂直于原来的两个向量所组成的平面，并且其大小等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的外积记为 a × b，其计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
其中，i、j、k 是单位向量，分别对应 x、y、z 轴方向。
二、外积的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果类型 | 向量 | ||||||
| 方向 | 垂直于两个原始向量所在的平面，遵循右手法则 | ||||||
| 大小 | 等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 交换律 | 不满足，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足，$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 与零向量 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 与自身相乘 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
三、应用实例
1. 计算面积：若已知两个向量表示一个平行四边形的邻边，则外积的模长即为该平行四边形的面积。
2. 确定方向：在物理学中，如力矩、磁场等，外积用来表示旋转方向。
3. 计算机图形学：用于计算法线向量，以判断物体表面朝向。
四、总结
向量的外积是一种非常有用的数学工具，它不仅能够帮助我们理解空间中向量之间的关系，还能在多个实际问题中提供关键的计算支持。通过掌握外积的定义、性质及其应用，可以更好地理解和运用这一数学概念。
