【数学期望怎么求】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，常用于描述随机变量在长期试验中平均结果的期望值。无论是考试、科研还是实际应用中，掌握数学期望的计算方法都非常关键。本文将从基本定义出发，结合不同类型的随机变量，总结数学期望的求法，并以表格形式清晰呈现。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value）是指一个随机变量在所有可能取值上按照其发生概率加权后的平均值。用符号表示为：
$$ E(X) $$
二、数学期望的计算方法
1. 离散型随机变量的数学期望
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n) $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望
| 分布类型 | 随机变量 $ X $ 的取值范围 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | 0 或 1 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ p $ |
| 二项分布 | 0, 1, ..., n | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | 0, 1, 2, ... | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | [a, b] | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | (-∞, +∞) | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | [0, +∞) | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、计算步骤总结
1. 明确随机变量的类型：判断是离散型还是连续型。
2. 确定概率分布：了解该变量服从哪种分布或给出的概率分布函数。
3. 代入公式计算：
- 离散型：逐项相乘再求和；
- 连续型：积分运算。
4. 验证结果合理性：根据分布特性检查是否符合预期。
五、注意事项
- 数学期望反映的是“平均趋势”，并不一定等于某个具体值。
- 对于复杂分布或多维随机变量，需使用联合分布或条件期望进行计算。
- 在实际问题中，应结合数据和背景理解期望的意义。
通过以上内容，我们可以系统地掌握“数学期望怎么求”的方法与技巧。无论是在学习还是工作中，准确计算数学期望都能帮助我们更好地分析和预测随机现象的结果。
