【复合函数求导怎么算】在微积分中，复合函数的求导是基础但非常重要的内容。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其形式通常为 $ y = f(g(x)) $。对于这类函数的求导，需要用到“链式法则”（Chain Rule）。本文将对复合函数的求导方法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如：
- $ f(x) = \sin(x^2) $
- $ g(x) = e^{\cos(x)} $
这些函数都是由内层函数和外层函数组成的复合结构。
二、链式法则（Chain Rule）
链式法则是求解复合函数导数的核心方法。其基本形式如下：
如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，那么：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，先对外层函数求导，再对内层函数求导，然后将两者相乘。
三、复合函数求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定复合函数的内外层结构，即找出外层函数和内层函数。 |
| 2 | 对外层函数关于内层变量求导（即对 $ u $ 求导）。 |
| 3 | 对内层函数关于自变量 $ x $ 求导。 |
| 4 | 将两者的导数相乘，得到最终结果。 |
四、常见复合函数求导示例
| 函数表达式 | 外层函数 | 内层函数 | 导数计算过程 |
| $ y = \sin(x^2) $ | $ \sin(u) $ | $ u = x^2 $ | $ \cos(x^2) \cdot 2x $ |
| $ y = e^{3x+1} $ | $ e^u $ | $ u = 3x + 1 $ | $ e^{3x+1} \cdot 3 $ |
| $ y = (2x - 5)^4 $ | $ u^4 $ | $ u = 2x - 5 $ | $ 4(2x - 5)^3 \cdot 2 $ |
| $ y = \ln(\tan(x)) $ | $ \ln(u) $ | $ u = \tan(x) $ | $ \frac{1}{\tan(x)} \cdot \sec^2(x) $ |
五、注意事项
- 链式法则可以多次应用，适用于多层复合函数。
- 在实际计算中，需要仔细识别每一层的函数关系。
- 若函数中包含多个变量或复杂结构，建议逐步分解后再进行求导。
六、总结
复合函数的求导本质上是对嵌套函数的逐层求导，关键在于正确识别内外函数结构，并灵活运用链式法则。掌握这一方法后，无论是简单的二次函数还是复杂的指数与三角函数复合，都可以轻松应对。
原创声明：本文内容基于教学经验整理，结合了常见的复合函数类型及求导方法，旨在帮助学习者更好地理解和应用链式法则。
