【复数怎么运算】复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域。复数由实部和虚部组成，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。本文将总结复数的基本运算方式，并通过表格形式进行对比展示。

一、复数的定义

复数是由实数和虚数组成的数，形式为：

$$

z = a + bi

$$

其中：

- $ a $：实部（Real Part）

- $ b $：虚部（Imaginary Part）

- $ i $：虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $

二、复数的基本运算

1. 加法

两个复数相加时，分别对实部和虚部相加：

$$

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

$$

2. 减法

两个复数相减时，同样分别对实部和虚部相减：

$$

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

$$

3. 乘法

两个复数相乘时，使用分配律展开计算：

$$

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

注意：$ i^2 = -1 $，因此 $ bdi^2 = -bd $

4. 除法

复数除法需要将分母有理化，即乘以共轭复数：

$$

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

$$

5. 共轭复数

复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $，常用于除法和模的计算。

6. 模（绝对值）

复数的模是其在复平面上到原点的距离：

$$

$$

三、运算总结表

四、小结

复数的运算虽然涉及虚数单位 $ i $，但本质上与实数运算相似，只是在处理虚部时需要注意符号变化和 $ i^2 = -1 $ 的特性。掌握这些基本运算后，可以进一步学习复数的极坐标形式、欧拉公式等更高级的内容。