【xsinx的定积分】在微积分中，计算函数 $ x\sin x $ 的定积分是一个常见的问题。它可以通过分部积分法来求解。以下是对 $ \int x\sin x \, dx $ 的总结，并附上详细的步骤和结果。
一、积分方法：分部积分法
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
对于 $ \int x\sin x \, dx $，我们选择：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x\sin x \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx
$$
再对 $ \int \cos x \, dx $ 积分：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
因此，
$$
\int x\sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C
$$
二、定积分计算（从 $ a $ 到 $ b $）
若要计算定积分 $ \int_a^b x\sin x \, dx $，只需将上述不定积分结果代入上下限：
$$
\int_a^b x\sin x \, dx = \left[ -x\cos x + \sin x \right]_a^b
= (-b\cos b + \sin b) - (-a\cos a + \sin a)
$$
三、典型值举例
| 积分区间 | 结果表达式 | 数值近似 |
| $ \int_0^{\pi} x\sin x \, dx $ | $ -\pi\cos\pi + \sin\pi + \pi\cos 0 - \sin 0 $ | $ \pi $ |
| $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin x \, dx $ | $ -\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + 0 - 0 $ | $ 1 $ |
| $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x\sin x \, dx $ | $ -\pi\cos\pi + \sin\pi + \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} $ | $ \pi - 1 $ |
四、总结
- $ x\sin x $ 的不定积分是 $ -x\cos x + \sin x + C $
- 定积分可以通过代入上下限计算
- 分部积分法是解决此类问题的关键方法
- 实际应用中可结合具体区间进行数值计算
通过以上分析，我们可以清晰地掌握如何计算 $ x\sin x $ 的定积分，并根据需要灵活应用。
