【sin75】在三角函数中，sin75° 是一个常见的角度值，它并不是标准角度（如30°、45°、60°等），但可以通过三角恒等变换来计算。了解 sin75° 的具体数值有助于解决一些复杂的几何或物理问题。
一、sin75° 的计算方法
sin75° 可以通过和角公式进行计算：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)
$$
根据正弦的和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
代入 A = 45°，B = 30°：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
$$
已知：
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此，
$$
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
二、sin75° 的数值近似值
使用计算器可得：
$$
\sin(75^\circ) \approx 0.9659
$$
三、常见角度与 sin 值对比表
| 角度（°） | sin(角度) | 近似值 |
| 0 | 0 | 0.0000 |
| 30 | 1/2 | 0.5000 |
| 45 | √2/2 | 0.7071 |
| 60 | √3/2 | 0.8660 |
| 75 | (√6 + √2)/4 | 0.9659 |
| 90 | 1 | 1.0000 |
四、总结
sin75° 是一个非标准角度的三角函数值，但可以通过三角恒等式准确计算得出。其精确表达式为：
$$
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
而其近似值约为 0.9659。在实际应用中，这个值常用于求解几何图形中的边长、角度关系或物理问题中的矢量分解等场景。理解并掌握这一值，有助于提升对三角函数的理解与运用能力。
