【几何分布的期望和方差公式推导】在概率论中，几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，第一次成功发生在第k次试验的概率。根据定义，几何分布有两种形式：一种是首次成功发生在第k次试验（即从1开始计数），另一种是首次成功发生在第k次试验之前（即从0开始计数）。本文以第一种形式进行讨论，即首次成功发生在第k次试验的概率。
一、几何分布的定义
设随机变量X表示首次成功发生的试验次数，则X服从参数为p（成功概率）的几何分布，记作X ~ Ge(p)，其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
$$
其中，p ∈ (0, 1) 是每次试验成功的概率。
二、期望的推导
几何分布的期望E(X)表示平均需要多少次试验才能获得第一次成功。
我们使用期望的定义进行推导：
$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
为了简化计算，可以利用级数求和技巧或递推法。
令 $ S = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot r^{k-1} $，其中 $ r = 1 - p $，则有：
$$
S = \frac{1}{(1 - r)^2} = \frac{1}{p^2}
$$
因此，
$$
E(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$
三、方差的推导
方差Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
先计算E(X²)：
$$
E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
同样使用级数方法，可得：
$$
E(X^2) = \frac{2 - p}{p^2}
$$
因此，
$$
\text{Var}(X) = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{1 - p}{p^2}
$$
四、总结与表格
| 项目 | 公式 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p $ |
| 期望 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} $ |
五、结论
几何分布的期望和方差是统计学中非常重要的概念，尤其在可靠性分析、排队论和随机过程等领域有着广泛应用。通过数学推导，我们可以清晰地看到，随着成功概率p的增大，期望值会减小，而方差也会随之减少，这符合直觉：越容易成功，所需的试验次数就越少，波动也越小。
