在概率论与数理统计中，几何分布是一种重要的离散型随机变量分布。它描述的是在一系列独立重复试验中，首次成功所需试验次数的概率分布。这种分布广泛应用于各种实际问题中，例如产品检测中的首次合格次数、射击试验中的首次命中次数等。

几何分布的核心在于其概率质量函数（PMF），定义为：

\[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \dots \]

其中，\( p \) 表示每次试验成功的概率，且 \( 0 < p \leq 1 \)。

接下来，我们探讨几何分布的两个关键性质——期望和方差。

几何分布的期望

几何分布的期望公式为：

\[ E(X) = \frac{1}{p} \]

这个结果可以通过概率论中的求和公式推导得出。具体来说，期望的定义是所有可能取值乘以其对应的概率之和：

\[

E(X) = \sum_{k=1}^\infty k \cdot P(X = k)

\]

将 PMF \( P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \) 代入后，经过一系列数学变换即可得到上述结论。

从直观上理解，期望 \( E(X) = \frac{1}{p} \) 表示，在平均意义上，需要进行 \( \frac{1}{p} \) 次试验才能取得一次成功。当 \( p \) 越小（即成功率越低），所需的试验次数越多；反之，当 \( p \) 越大（即成功率越高），所需的试验次数越少。

几何分布的方差

除了期望外，几何分布的另一个重要特性是它的方差。几何分布的方差公式为：

\[ D(X) = \frac{1-p}{p^2} \]

同样地，这一公式也可以通过严格的数学推导得出。方差的定义是：

\[

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

\]

首先计算 \( E(X^2) \)，然后结合 \( E(X) = \frac{1}{p} \)，最终得到上述结果。

从公式可以看出，方差随着 \( p \) 的变化而变化。当 \( p \) 接近 1 时，方差趋于较小值，说明试验的结果较为集中；而当 \( p \) 接近 0 时，方差增大，表明试验结果的波动性更强。

总结

几何分布的期望和方差分别是：

\[

E(X) = \frac{1}{p}, \quad D(X) = \frac{1-p}{p^2}

\]

这两个公式揭示了几何分布的关键特性，为我们分析相关问题提供了理论基础。例如，在质量管理中，可以根据产品的合格率 \( p \) 来预测首次合格所需的检验次数；在金融领域，可以利用这些性质来评估投资回报的不确定性。

希望以上内容能够帮助你更好地理解和应用几何分布的相关知识！如果你有进一步的问题或需要更详细的解释，请随时提问。