在数学领域中，多项式的分解与留数计算是一种重要的分析工具，广泛应用于信号处理、控制系统以及数值分析等领域。本文将详细介绍多项式分解留数法的具体公式及其应用。

首先，我们定义一个有理函数 \( R(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} \)，其中 \( P(s) \) 和 \( Q(s) \) 是关于变量 \( s \) 的多项式。假设 \( Q(s) \) 在复平面上有 \( n \) 个不同的极点 \( s_1, s_2, \ldots, s_n \)，则根据留数定理，我们可以将 \( R(s) \) 表示为部分分式的形式：

\[

R(s) = \sum_{k=1}^{n} \frac{r_k}{s - s_k}

\]

这里，\( r_k \) 是对应的留数，可以通过以下公式计算：

\[

r_k = \lim_{s \to s_k} (s - s_k) R(s)

\]

对于高阶极点的情况，留数的计算需要进一步扩展。例如，如果 \( s_k \) 是 \( Q(s) \) 的 \( m \)-重极点，则留数 \( r_k \) 可以通过如下公式求得：

\[

r_k = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{s \to s_k} \frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}} \left[ (s - s_k)^m R(s) \right]

\]

这种分解方法不仅简化了对复杂有理函数的研究，还为后续的积分和变换提供了便利条件。在实际应用中，这种方法常用于求解线性系统的稳定性问题或进行频率响应分析。

总结来说，多项式分解留数法的核心在于准确地找到所有极点并正确计算每个极点处的留数。这要求对复变函数理论有一定的掌握，并且在具体操作时需注意细节以确保结果的准确性。希望上述内容能帮助读者更好地理解和运用这一强大的数学工具。