在数学解题过程中，我们常常会遇到一些有趣的配对型问题。这类题目通常通过观察函数的特性或规律来简化运算过程。今天，我们就来看一个与函数 \( f(x) = \frac{x}{1+x} \) 相关的问题。
首先，让我们明确题目给出的条件：
- 函数定义为 \( f(x) = \frac{x}{1+x} \)，其中 \( x > 0 \)。
- 需要计算 \( f\left(\frac{1}{100}\right) + f(?) \)。
分析 \( f(x) \) 的性质
我们可以先观察函数 \( f(x) \) 的一些基本性质：
1. 当 \( x > 0 \) 时，分母 \( 1+x > 0 \)，因此 \( f(x) \) 总是有意义的。
2. 函数值 \( f(x) \) 始终介于 0 和 1 之间（即 \( 0 < f(x) < 1 \)），因为分子 \( x \) 小于分母 \( 1+x \)。
接下来，我们尝试计算 \( f\left(\frac{1}{100}\right) \)：
\[
f\left(\frac{1}{100}\right) = \frac{\frac{1}{100}}{1 + \frac{1}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{101}{100}} = \frac{1}{101}.
\]
因此， \( f\left(\frac{1}{100}\right) = \frac{1}{101} \)。
寻找配对规律
为了进一步解决问题，我们需要找到一个合适的 \( ? \)，使得 \( f(?) \) 能够与 \( f\left(\frac{1}{100}\right) \) 形成某种关系。通过观察函数 \( f(x) \) 的定义，我们可以尝试寻找其反函数或者配对规律。
注意到：
\[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{1+x} + \frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}.
\]
化简第二项：
\[
f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{x+1}.
\]
因此：
\[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{1+x} + \frac{1}{1+x} = \frac{x+1}{1+x} = 1.
\]
这表明，当 \( x \) 和 \( \frac{1}{x} \) 成为配对时，它们的函数值之和恒等于 1。
应用配对规律
根据上述结论，我们可以设 \( ? = 100 \)，这样 \( f\left(\frac{1}{100}\right) + f(100) = 1 \)。
因此，最终答案为：
\[
f\left(\frac{1}{100}\right) + f(100) = 1.
\]
结论
通过分析函数 \( f(x) = \frac{x}{1+x} \) 的性质以及配对规律，我们成功解决了这个问题。这种方法不仅展示了数学中的对称美，还提供了一种高效解决问题的思路。希望这个例子能帮助你更好地理解配对型题目，并在类似问题中灵活应用。
