在数学中，三角函数是一个非常重要的知识点，而tan（正切）函数又是其中的关键部分之一。今天我们就来详细探讨一下如何计算tan 75°的值，并且提供一个清晰易懂的过程，帮助大家更好地理解和掌握。

第一步：分解角度

首先，我们知道75°可以被分解为两个特殊角的和，即：

\[ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \]

这样做的好处是我们可以用已知的特殊角公式来进行推导。

第二步：使用正切加法公式

根据三角函数中的正切加法公式：

\[ \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} \]

将 \(a = 45^\circ\) 和 \(b = 30^\circ\) 代入上述公式：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ} \]

第三步：代入特殊角的值

我们知道以下特殊角的正切值：

- \(\tan 45^\circ = 1\)

- \(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

因此，代入这些值到公式中：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \]

第四步：化简分式

接下来我们对分子和分母分别进行化简：

- 分子：\(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}\)

- 分母：\(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}\)

所以，原式变为：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} \]

由于分母和分子都有相同的分母3，可以直接约掉，得到：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \]

第五步：进一步化简

为了使结果更加简洁，我们可以对这个分数进行有理化处理。具体做法是将分子和分母同时乘以\(3+\sqrt{3}\)：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{(3+\sqrt{3})^2}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} \]

计算分母：

\[ (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6 \]

计算分子：

\[ (3+\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3} \]

因此，最终结果为：

\[ \tan(75^\circ) = \frac{12+6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \]

总结

通过以上步骤，我们得到了tan 75°的具体数值：

\[ \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3} \]

希望这篇文章能够帮助你更清楚地理解如何计算tan 75°的值。记住，掌握基本的三角函数公式和技巧是非常重要的！